中学3年生も解ける！三平方の定理の意外な応用問題を徹底解説
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2026/02/02 勉強の仕方教え方中学３年数学オンライン個別指導

中学3年生の数学では、三平方の定理が重要な単元として学習されます。これをマスターすることで、さまざまな図形問題を解く力が身につくのです。この記事では、三平方の定理を使った応用問題に焦点を当て、問題のパターンや学習方法を詳しく解説。そして、平面図形や空間図形での応用例、さらには体積計算における活用法など、多彩な問題をご紹介します。また、お客様からの実際の相談事例を交え、どのように学習を進めるべきかを提案。問題に対する答えや解説もありますので、ぜひご活用ください。 #中3 #数学 #三平方の定理 #入試問題 #応用問題

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三平方の定理とは？基礎から応用まで
1. 三平方の定理の基礎を学ぼう
2. 応用問題に挑戦しよう
平面図形での三平方の定理の使い方
1. 代表的な応用問題とその解法
2. 円に関する問題の攻略法
空間図形での応用: 三次元にも挑戦
1. 立体図形を解く際のポイント
2. 空間の体積計算に役立つコツ
実際にあった！お客様の相談事例
1. 理解が進まない！？三平方の定理の壁
2. 応用問題でつまずいたときの対処法
解説付きプリントで理解を深めよう
1. おすすめのプリント教材
2. 効果的なプリントの活用法
三平方の定理に関するよくある質問とその回答
1. よくある質問：この問題が解けない！
2. 公式の暗記に悩む方へ
三平方の定理の理解を深める学習法
1. 反復練習の重要性
2. 実践を通じた理解を深める
三平方の定理と向き合う時の心得
1. ポジティブな姿勢で学習する
2. 失敗を恐れずチャレンジする

三平方の定理とは？基礎から応用まで

三平方の定理は、数学の中で非常に重要な定理の一つです。特に中学3年生のカリキュラムでは、この定理を使ってさまざまな図形問題を解く力を養います。ここでは、基礎から応用までの流れをしっかり解説します。

三平方の定理の基礎を学ぼう

三平方の定理は、数学の中でも特に重要な定理の一つです。中学3年生の学習においても、この定理を理解することは自信を持って図形問題に取り組むための基盤となります。まずは、三平方の定理の基本的な内容をしっかりと押さえておきましょう。

三平方の定理の内容は、直角三角形の隣接辺と斜辺の長さの関係を示しています。具体的には、直角三角形において、直角を挟む両辺の長さをそれぞれaとb、斜辺の長さをcとした場合、次のような関係式が成り立ちます。すなわち、「aの二乗たすbの二乗はcの二乗に等しい」という公式で表されます。これを式にすると、a² + b² = c²となります。

この定理がなぜ重要かというと、さまざまな図形問題を解く際に利用できるからです。例えば、建物の高さを測る場合や、公園内の道の長さを計算する際など、三平方の定理を使うと簡単に答えを導き出すことができます。このように、実生活の様々な場面で三平方の定理は応用されています。

しかし、実際にこの定理を使うには公式を覚えるだけではなく、どのように問題に適用するかが重要です。まずは、定理がどのように成り立っているのかを理解することが大切です。視覚的に理解するために、直角三角形を描いてみるのも良い方法です。そして、辺の長さを代入して実際に計算してみることで、公式がどのように機能するのかを体験できます。

特に、応用問題に取り組むには、三平方の定理の基礎をしっかりと身につけておくことが大切です。一度定理を理解することで、複雑な図形や問題に出会った際にも、冷静に分析できる力が養われます。したがって、基礎の学習は決して軽視できません。

さらに、最近の教育現場では、実際にあった事例を通じて三平方の定理を学ぶ機会が増えています。例えば、ある生徒は道の直線の長さを求める問題に直面しました。この問題を三平方の定理を用いて解決することで、彼は自信をつけ、今後も様々な問題に対処できる力を身に付けました。このような体験を通して、三平方の定理が具体的にどのように役立つかを知ることができます。

このように、三平方の定理の基礎をしっかり学ぶことで、数学に対する理解が深まり、より一層の問題解決能力を育むことができるでしょう。定理を学ぶ過程で気づいたことや感じたことを大切にしながら、次のステップに進んでいきましょう。

応用問題に挑戦しよう

三平方の定理の基礎が理解できたら、次は応用問題に挑戦することが大切です。基礎の知識を踏まえた上で、さまざまな図形問題に対応できる力を養うために、適切なアプローチを考えていきましょう。応用問題は、基礎を元にして新たな状況や条件が加わることで、多様な解法が必要とされます。そのため、これらを扱う際には柔軟な思考が求められます。

まず、応用問題の基本的な形式について見ていきます。多くの応用問題では、直角三角形だけでなく、他の図形との組み合わせが出題されます。例えば、長方形や円と直角三角形を組み合わせた問題などです。こうした問題を解く際には、まず与えられた条件をしっかりと把握することが重要です。図形の構造を視覚化し、関連性を見出すことで、問題の解決に向けた道筋が見えてきます。

次に、実際の応用問題に取り組む方法について考えましょう。例えば、ある問題では公園にある大きな池の周りを歩くための最短距離を求める内容かもしれません。この場合、池が円形であり、指定された点からの距離を求めるためには、まず直角三角形に分解することが有効です。池の中心から指定された点までの半径を考え、そこからの直線距離を求めることで解決できます。このように図形を複雑に考えるのではなく、シンプルに分析することが成功のカギとなります。

また、同じような問題に何度も挑戦することで、パターンを見つけることができます。例えば、ある生徒が複数の練習問題を解くことで、「直角三角形ができたときには必ず三平方の定理が使える」と気づいた経験があります。このような洞察が得られると、問題解決がスムーズになり、自信も深まります。解法の手順を自分のものとして吸収していくことで、将来的にも数学の応用力が向上するでしょう。

応用問題に挑戦する際は、初めから全ての条件に圧倒されず、一つ一つ問題を丁寧に解いていくことが大切です。少しずつ身につけていくことで、自然と問題解決能力が高まり、「次はこういう問題も解けるかも」と前向きな気持ちになれるはずです。このように、三平方の定理に基づいた応用問題を解く楽しさを感じながら、一歩ずつ進んでいきましょう。

平面図形での三平方の定理の使い方

三平方の定理は、平面図形での問題を解く際にも大いに役立ちます。このセクションでは、実際の問題を例にとり、どのように定理を使うかを解説します。

代表的な応用問題とその解法

三平方の定理を使用した代表的な応用問題に取り組むことで、理論を実際の問題にどのように活かすかを学ぶことができます。ここでは、実際の問題を例に挙げて、その解法を詳しく解説します。

まず、典型的な応用問題として「高さを求める問題」を考えてみましょう。たとえば、ある建物の影が12メートルあり、太陽の光が地面に対して30度の角度で差し込んでいるとします。この場合、建物の高さを求めることができます。

この問題に対処するために、まず三角形を描いてみましょう。影の長さが底辺に相当し、建物の高さが垂直辺となります。30度の角度ができる位置から、直角三角形が形成されます。ここで、底辺の長さを12メートル、角度を30度とした場合、三平方の定理に基づいて解を進めます。この場合、tan(30度)は高さと影の比を表し、具体的には「高さ = 底辺 × tan(30度」で表されます。

tan(30度)の値は1/√3、すなわち約0.577ですので、建物の高さは12メートル × 0.577という計算になります。計算してみると、約6.93メートルとなります。これにより、建物の高さはおおよそ7メートルであることが分かりました。

このような問題を解く際には、まず与えられた条件と図形を正しく理解することが重要です。解法も直感的に導き出せる場合が多いため、何度も練習することで、自分の中に知識をしっかりと定着させることができます。

さらに、問題によっては複数の解法が存在することもあります。たとえば、先ほどの問題以外にも、直角三角形を用いた様々な応用が考えられます。たとえば、階段の高さとその長さ、あるいは斜面の傾斜に関連した問題でも、同様に三平方の定理を使用することができます。

このように、三平方の定理を用いた代表的な応用問題を通じて、基礎的な知識を活かしつつ、問題解決力を高めることが可能です。問題に対する考え方を柔軟にし、実際の状況に応じた解法を選択できるようにしていくことで、数学の楽しさを実感できるでしょう。次回は、さらに他の応用問題にもチャレンジしていきましょう。

円に関する問題の攻略法

円に関する問題は、三平方の定理と組み合わせることで解決できることが多くあります。円が持つ特性と直角三角形の関係を理解することで、さまざまな問題に挑戦できるようになります。ここでは、円に関する代表的な問題を例に挙げ、その攻略法を解説します。

例えば、ある円の中心から半径を使って、円周上のある点から直径を引いた場合の高さを求める問題を考えてみましょう。中心から点Aまでの距離が半径rとしたとき、点Aから直径の両端まで延長した線が直角を形成するため、この直角三角形の辺の長さを求めることができます。

円の性質を考慮すると、直径ABに対して、円の中心Oから直径に直角に下ろした垂線の交点をCとすると、三角形OACが直角三角形となります。ここで、OAが半径r、OCが求めたい高さh、そしてACが直径の半分であるrとして、三平方の定理を適用することが可能です。この場合、次のような関係式が成り立ちます。

\[ OA^2 = OC^2 + AC^2 \]

具体的には、式を代入すると次のようになります。

\[ r^2 = h^2 + (r/2)^2 \]

この式を整理すると、最終的に高さhを求めることができます。このプロセスを踏むことで、円周に関する問題に対する理解が深まり、実際の問題に応用する力が身につきます。

円に関連する他の問題として、円と直線の交点を求める問題もあります。例えば、ある円の方程式と直線の方程式が与えられた時、交点を求めるためには代入法や加減法を使って解くことができます。この際、直角三角形の性質を利用することで、計算がスムーズになることが多いです。

円に関する問題を解くうえでは、図を描くことが非常に効果的です。問題が与えられた際に、まずはその状況を視覚化し、必要な情報を整理することが重要です。加えて、三平方の定理を用いることで、円に関する問題は一層解決しやすくなります。このアプローチを実践することで、より複雑な問題にも果敢に挑んでいく自信がついてくることでしょう。円の特性を理解し、さまざまな問題に柔軟に対応できる力を養っていきましょう。

空間図形での応用: 三次元にも挑戦

三平方の定理は、空間図形の問題でも重要な役割を果たします。三次元の図形を扱う場面での応用法を見ていきましょう。

立体図形を解く際のポイント

立体図形の問題を解く際には、三平方の定理が重要な役割を果たします。特に、直角三角形を含む立体図形においては、この定理を使うことで、辺の長さや角度を求める際に非常に役立ちます。ここでは立体図形を解く際のポイントについて見ていきましょう。

まず、立体図形の問題では、図形を視覚的に理解することが不可欠です。具体的な図を描くことで、どの辺が直角を形成しているのか、また各辺の関係がどのようになっているのかを把握しやすくなります。たとえば、直方体や立方体の場合、対角線や面の関係を明確にすることで、三平方の定理の適用ポイントを見つけやすくなります。

次に、問題の条件を再確認しましょう。与えられた条件や長さをしっかりと把握することで、必要な計算に取り組む際の手助けとなります。たとえば、ある問題で立方体の一辺の長さが与えられ、対角線の長さを求める場合、その一辺を基にして三平方の定理を応用することができます。この際、直角三角形を考え、底辺と高さを求めることで、斜辺の長さを算出する流れが重要です。

また、立体図形の問題では他の定理や公式も活用することが効果的です。例如、体積や表面積の計算を行う際にも、三平方の定理の知識が役立つことが多いでしょう。立体的な計算を通じて、形状の理解が深まり、問題を解く力に繋がります。

さらに、練習を重ねることで、様々な立体図形に対する理解が深まります。難易度の異なる問題に挑戦することで、柔軟に思考を広げていくことが可能です。結果的に、自信を持って立体図形の問題に取り組むことができるようになります。

最後に、立体図形の問題を解く際には、わかりやすい解法を選ぶことが大切です。問題を分解しながら考えることで、ちょっとしたヒントが思いつくこともあります。そのため、冷静に問題を見つめ、計算に取り組む姿勢を忘れないようにしましょう。これにより、立体図形に関する様々な問題を効率的に解決する力が養われるでしょう。

空間の体積計算に役立つコツ

空間の体積計算は、数学の中でも重要な要素の一つです。特に三平方の定理は、立体的な計算を行う際に非常に役立ちます。ここでは、さまざまな立体図形の体積を計算する際に役立つコツをいくつか紹介します。

まず、基本的な立体の体積の公式を理解しましょう。立方体の場合は一辺の長さを三乗するだけで体積を求めることができます。一方、直方体では長さ、幅、高さを掛け合わせることで体積が算出されます。しかし、これらの基本公式を適用する際には、必ず図形の各辺の長さを明確に把握しておくことが求められます。必要に応じて、図を描いて確認すると良いでしょう。

次に、複雑な形の立体の体積を求める際には、分解法が有効です。例えば、台形や三角柱などのような形は、容易に分割できるため、それぞれの部分の体積を計算した後で合計することで全体の体積を導き出すことが可能です。たとえば、直方体と半球が組み合わさった形状の場合、それぞれの体積を算出し、合計することで全体の体積が得られます。

また、体積計算を行う際には、三平方の定理を利用して、側面や対角線の長さを求めることもできます。特に、立方体や直方体内の対角線や三角形を意識することで、必要な情報を得ることができ、より簡潔に計算が進められます。たとえば、立方体の対角線の長さを求める場合には、各辺の長さを用いて三平方の定理を使い、斜辺を算出することができます。

最後に、実際の問題を解く際には、何度も練習することが重要です。体積計算に特化した問題を解くことで、公式の使い方や計算の流れに習熟することができ、自信もつくでしょう。加えて、定期的に復習を行うことで、理解が深まると同時に知識が定着します。

これらのポイントを押さえて、空間の体積計算に挑戦してみてください。問題を解く楽しさを感じながら、一歩一歩着実に力をつけていくことができるはずです。

実際にあった！お客様の相談事例

教育現場や塾での実際の相談事例を交え、三平方の定理の学習法について考えます。問題解決の糸口を提供します。

理解が進まない！？三平方の定理の壁

三平方の定理は、多くの中学生にとって重要な数学の基礎ですが、時には理解が難しく感じられることもあります。この「三平方の定理の壁」は、特に直角三角形の特性やその適用方法に戸惑うことから生じることが多いです。生徒がこの壁にぶつかる理由として、まず考えられるのは、公式を単なる暗記と捉えてしまうことです。

公式a² + b² = c²が示す内容を理解することなく、ただ暗記して問題に挑むと、実際の問題でどの辺がa、b、cに該当するのかを見極めるのが難しくなります。そのため、図形を視覚的に理解することが求められます。具体的には、直角三角形を描いてみたり、実際に三角形を作って辺の長さを計測したりすることが効果的です。このようにして、公式がどのように成り立つのかを実感することで、自然に理解が深まります。

また、実際の問題に出くわすと、さまざまな図形的な要素が絡むため、混乱を招く場合もあります。この場合、問題文を丁寧に読み、与えられた情報を整理することが重要です。生徒が直面する具体的な疑問として「この条件からどのように三平方の定理を使うのか？」ということがあります。この際、生徒自身が思考のプロセスを大切にするように心掛け、自分なりの解法を探ることが大切です。

さらに、クラスメートや教師と協力して学ぶことも非常に有益です。意見を交換しながら問題に取り組むことで、新たな視点や解法に気づくことができます。また、自分自身の失敗を経験として受け入れることで、より強固な理解につながります。

このように、三平方の定理の壁を乗り越えるためには、視覚化・整理・対話を通じたアプローチが有効です。少しずつ自信をつけていくことで、この定理をしっかりと身につけていけるはずです。学びを深めながら、数学への興味を育んでいきましょう。

応用問題でつまずいたときの対処法

応用問題でつまずいたときは、多くの生徒が不安や焦りを感じるものです。しかし、こうした時にどのように対処するかが、学習を進める上でのカギとなります。まず大切なのは、問題を冷静に分析することです。与えられた条件をしっかり読み、図を描きながら視覚化してみましょう。このプロセスを経ることで、問題の全体像が見えてくることがよくあります。

次に、問題を小さく分解してみることも効果的です。大きな問題として捉えると圧倒されてしまいますが、その中の要素を一つ一つ解決していくことで、全体の解を導き出すことができます。例えば、「高さを求める」という難しい表現があった場合、身近な数値や図形に置き換えて考えると、理解がぐっと進むことがあります。

また、同じような応用問題を何度も解くことで、問題のパターンに慣れることができます。同じ形式の問題に取り組むことで、解法の流れや三平方の定理の使い方が身についていくでしょう。このような反復練習は、数学を得意にするための確実なステップです。

さらに、他の生徒や教師に相談することも重要です。疑問に思ったことを他者に説明することで、自分の理解が試され、思考が整理されます。また、他の人の考え方や解法を知ることで、新たな視点を得ることができるでしょう。

つまずいたときは、決してネガティブに捉えず、学ぶチャンスと考えることが大切です。自分なりにできることを試みながら、少しずつ前進していけば、応用問題も自信を持って解けるようになるはずです。学び続ける姿勢こそが、力をつける鍵となります。

解説付きプリントで理解を深めよう

三平方の定理をマスターするためには、解説付きのプリントを活用するのが効果的です。ここではその活用法を解説します。

効果的なプリントの活用法

効果的なプリントの活用法について考えてみましょう。まず大切なのは、ただ問題を解くだけではなく、その過程を重視することです。プリントを使って問題を解く際には、自分がどのように考え、どのようなアプローチを取ったのかをメモしておくと良いでしょう。このようにすることで、後から振り返ったときに自分の思考プロセスを確認でき、より深い理解が得られます。

次に、解いた問題の復習も欠かせません。特に間違えた問題については、何が原因で間違えたのかを分析し、再度挑戦してみることが重要です。一度解いた問題を繰り返し解くことで、記憶が定着し、理解が深まります。解答の解説をしっかり読み、同じような問題に対する取り組み方を考えることも効果的です。

また、定期的に時間をとってまとめて解くという方法も有効です。例えば、週に一度、選んだプリントをまとめて解く「問題の日」を設定すると、緊張感が生まれ、本番を意識した練習が可能になります。このように、実際の試験に近い環境を整えることで、時間配分や問題の見極め能力が向上します。

さらに、友達と一緒に勉強するという方法も助けになります。お互いに問題を出し合ったり解説したりすることで、異なる視点からの理解が得られ、自分一人では気づかないポイントを学ぶことができます。これにより、より広範な知識が習得できるでしょう。

こうした活用法を取り入れることで、プリント教材を効果的に使い、三平方の定理の理解を深めることができます。地道な努力が自信に繋がるため、ぜひ積極的に取り組んでみてください。

三平方の定理に関するよくある質問とその回答

学習者から寄せられる三平方の定理に関する質問に回答します。よくある疑問について、わかりやすく説明します。

よくある質問：この問題が解けない！

「この問題が解けない！」という悩みは、多くの中学生が経験することです。特に、三平方の定理を用いた応用問題に対しては、どうしても行き詰まってしまうことがあります。よくあるケースとして、問題文が複雑で条件が多い場合や、どのように公式を当てはめればよいかわからないというものがあります。

まずは、問題文を読み返すことが大切です。与えられた情報を整理し、自分が求めるものは何かを明確にしましょう。次に、図を描いてみることをおすすめします。視覚的に状況を把握することで、問題の全体像がつかみやすくなります。問題の中に直角三角形が隠れている場合は、そこに三平方の定理を適用する道が見えてくるかもしれません。

さらに、まずは簡単な問題に挑戦してみるといいでしょう。基本的な問題を解くことで、自信がつき、応用問題にも挑む余裕が生まれます。もし自分一人では解決できない場合は、先生や友達に相談してみることも一つの手です。他の視点からのアドバイスが、新たな解法を知るきっかけとなります。

最後に、「解けない」と感じた時こそ、 learning opportunity と考えることが大切です。問題に向き合う姿勢を持ち続けることで、自ずと解法が見えてくるでしょう。たった一歩の努力が、理解を深める第一歩となります。

公式の暗記に悩む方へ

公式の暗記に悩む方は多いですが、いくつかの工夫をすることで、より効果的に覚えることができます。まず、単に覚えるのではなく、公式がどのように成り立っているのかを理解することが重要です。三平方の定理は、直角三角形の辺の関係を示しているため、その図を描いてみることで、視覚的に理解することができます。

次に、公式を自分の言葉で説明してみることもおすすめです。例えば、a² + b² = c²がどんな意味を持つのか、具体的な例を挙げながら説明してみることで、記憶が定着しやすくなります。条件を具体的に考えることで、公式の使い方が実感できるでしょう。

さらに、反復練習やフラッシュカードを活用することが効果的です。学習の合間に何度も復習することで、自然に記憶が定着します。友人や家族に問題を出してもらいながら、一緒に学ぶことも良い方法です。こうした取り組みによって、公式に対する理解が深まり、自信を持って問題に取り組めるようになるでしょう。

三平方の定理の理解を深める学習法

三平方の定理をしっかりと身につけるために、どのような学習法を取り入れればよいかを提案します。

反復練習の重要性

反復練習は、三平方の定理をしっかりと身につけるために非常に重要な要素です。一度学んだ知識を定着させるためには、何度も繰り返し解くことが不可欠です。同じタイプの問題を繰り返し解くことで、解法の流れや公式の使い方を自然に覚えることができます。

特に応用問題では、問題の形式や条件が毎回異なるため、基本的な考え方や解法を何度も振り返ることで、柔軟な思考が養われるでしょう。何度も繰り返すことで、自信がつき、難しい問題にも冷静に挑めるようになります。

また、反復練習では自分の間違いを分析することも重要です。どこでつまずいたのかを確認し、理解を深めていくことができるため、効果的な学習となります。このように、反復練習を通じて、三平方の定理をしっかりとマスターし、自信を持って数学の問題に取り組んでいきましょう。

実践を通じた理解を深める

実践を通じて理解を深めることも、三平方の定理を学ぶ上で非常に重要です。理論だけではなく、実際の問題を解くことで、定理がどのように応用されるのかを体感できます。たとえば、身の回りの物体や状況に目を向けて、実際に三平方の定理をあてはめる機会を作ることが大切です。

具体的な実践例として、建物の高さを測る課題に取り組んでみるのも良いでしょう。例えば、影の長さと太陽の角度を利用して、実際に高さを算出することで、定理を体感できます。このような実験的なアプローチにより、数学が実生活にどのように関わっているのかを理解しやすくなります。

さらに、授業や勉強会でのグループワークも有効です。他の生徒と一緒に問題を解いたり、意見を交換したりすることで、多様な視点から学ぶことができます。このように実践を積み重ねることで、三平方の定理の理解はぐっと深まるでしょう。

三平方の定理と向き合う時の心得

三平方の定理を学ぶ際に心に留めておきたいポイントをまとめます。学習をより豊かにするためのヒントをお伝えします。

ポジティブな姿勢で学習する

ポジティブな姿勢で学習することは、三平方の定理を身につけるために非常に重要です。学ぶ過程でつまずきや苦手な部分が出てくるのは当然ですが、その際にネガティブな感情を抱くのではなく、成長のチャンスと捉えることが大切です。

自分にとって難しい問題に挑むことは、理解を深めるための第一歩です。失敗を恐れずに取り組むことで、自信がつき、次第に問題解決能力も向上します。また、ポジティブな思考は脳に良い影響を与え、集中力や記憶力を高める効果もあります。

友人や家族と学び合うことで、モチベーションも高まります。共に目標を持ち、励まし合いながら進んでいくことで、学習がより楽しみに変わります。ポジティブな姿勢を大切にしながら、三平方の定理をしっかりと身につけていきましょう。

失敗を恐れずチャレンジする

失敗を恐れずチャレンジする姿勢は、数学を学ぶ上で非常に重要です。特に三平方の定理を理解する際には、難しい問題に取り組むことで得られる経験が自分の成長につながります。最初は解けない問題も多いかもしれませんが、その度に自分の理解を深めるチャンスだと捉えることが大切です。

失敗は学習の一部であり、成功への道筋と考えましょう。間違えた問題に対して、なぜその解法が分からなかったのかを分析することで、自分の理解がより深まります。また、問題を解く過程で得た知識や経験は、今後の問題解決にも役立ちます。

友人や教師と共に問題に挑むことも、チャレンジする意欲を高める方法です。共に学びながら失敗を共有することで、互いに励まし合い、成長できる環境を整えることができます。このように、失敗を恐れずに前向きにチャレンジしていくことで、自分の可能性を広げていきましょう。

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